泛函分析笔记:应用篇

泛函分析笔记共三篇:空间篇推导篇应用篇。这三篇笔记主要整理自Andrew Pinchuck教授的Functional Analysisi Notes(2011)

本篇主要内容为前两篇中的概念在范函分析中的实际应用


有界线性算子

若有数域 $F$ 上的线性空间 $X$,$Y$ 和从 $X$ 到 $Y$ 的映射 $T: X \to Y$ 满足:

$\forall x_{1}, x_{2} \in X, \alpha, \beta \in F. T(\alpha x_{1} + \beta x_{2}) = \alpha T x_{1} + \beta T x_{2}$

我们称 $T$ 为线性算子。我们定义所有从 $X$ 到 $Y$ 的线性算子的集合为 $L(X, Y)$,记 $L(X, X)$ 为 $L(X)$。

记集合 $ran(T) = \{y \in Y| y = Tx\} = TX$ 为现行算子 $T$ 的值域,其中 $x$ 为 $X$ 中的一些取值。$ran(T)$ 是 $Y$ 的线性子空间。若 $ran(T) = Y$ 则称 $T$ 是满射的

记集合 $N(T) = ker(T) = \{x \in X: Tx = 0\} = T^{-1}(0)$ 为现行算子 $T$ 的零空间,又称。$ker(T)$ 是 $X$ 的线性子空间。若 $ker(T) = \{0\}$ 则称 $T$ 是单射的

若 $T$ 是单射的,则有映射 $T^{-1} : ran(T) \to dom(T)$,对于每一个 $y \in ran(T)$,有 $x \in dom(T), Tx = y$。此时我们记 $T^{-1}y = x$,且称映射 $T^{-1}$ 为算子 $T$ 的。若算子 $T$ 存在逆我们称该算子是可逆的


若有赋范线性空间 $X$,$Y$,线性算子 $T: X \to Y$ 和常数 $M > 0$ 满足:

$\left \| Tx \right \| \leq M \left \| x \right \|, \forall x \in X$

我们称线性算子 $T$ 是有界的。记从 $X$ 到 $Y$ 上所有有界线性算子的集合为 $B(X, Y)$,记 $B(X, X)$ 为 $B(X)$。

若有算子 $T : X \to Y$ 和 $x_{0} \in X$,对于任意 $\epsilon > 0$,存在 $\delta > 0$,使得对于所有 $\left \| x - x_{0} \right \| < \delta$ 满足:

$\left \| Tx - Tx_{0} \right \| < \epsilon$

我们称 $T$ 在 $x_{0}$ 连续。若 $T$ 在 $X$ 上所有点都连续,则称 $T$ 在 $X$ 上连续。


若有赋范线性空间 $X$, $Y$ 和有界线性算子 $T \in B(X, Y)$,则记

$\left \| T \right \| = inf\{M : \left \| Tx \right \| \leq M \left \| x \right \|, \forall x \in X \}$

为 $T$ 的算子范数。我们有 $\left \| Tx \right \| \leq \left \| T \right \| \left \| x \right \|, \forall x \in X$。

证明:$\left \| T \right \| = sup\{\frac{\left \| Tx \right \|}{\left \| x \right \|}: x \neq 0\} = sup\{\left \| Tx \right \|: \left \| x \right \| = 1\} = sup\{\left \| Tx \right \|: \left \| x \right \| \leq 1\}$

证明:如上定义的函数 \left \| \cdot \right \| 是 $B(X, Y)$ 上的范数


证明: $T \in L(X, Y)$ 有界, 当且仅当 $T$ 是从一个有界集映射到另一个有界集

证明:若有 $T \in B(X, Y)$,则 $T^{-1}$ 存在且有界,当且仅当存在常数 $K > 0$,满足:$\left \| Tx \right \| \geq K \left \| x \right \|, \forall x \in X$

证明:若有 $T \in L(X, Y)$,则以下三个命题等价:(1) $T$ 在 $X$ 上连续;(2) $T$ 在 $X$ 上某些点连续;(3) $T$ 在 $X$ 上有界

证明:有限维赋范线性空间上的每一个线性算子都是连续的


若有赋范线性空间 $X$,$Y$ 和序列 $(T_{n})^{\infty}_{1} \in B(X, Y)$ 满足:

(1) $\subset{n \in \infty}{lim} \left \| T_{n} - T \right \| = 0$

则称 $(T_{n})^{\infty}_{1}$ 一致算子收敛到 $T$,称 $T$ 是 $(T_{n})^{\infty}_{1}$ 的一致算子极限

(2) $\subset{n \in \infty}{lim} \left \| T_{n}x - Tx \right \| = 0, \forall x \in X$

则称 $(T_{n})^{\infty}_{1}$ 强算子收敛到 $T$,称 $T$ 是 $(T_{n})^{\infty}_{1}$ 的强算子极限

证明:若 $(T_{n})_{1}^{\infty} \in B(X,Y)$ 一致收敛到 $T \in B(X,Y)$,那么 $(T_{n})_{1}^{\infty}$ 强收敛到 $T$。反之则不成立。

证明:有赋范线性空间 $X$ 和 $Y$,若 $Y$ 是巴拿赫空间,则 $B(X,Y)$ 是巴拿赫空间


若有 $T:X \to Y, S:Y \to Z$,我们定义 $T$ 和 $S$ 的合成运算为映射 $ST:X \to Z$

$(ST)(x) = (S \circ T)(x) = S(Tx)$

证明:若有赋范线性空间 $X,Y,Z$ 和 $T \in B(X,Y), S \in B(Y,Z)$,那么有 $ST \in B(X,Z)$ 和 $\left \| ST \right \| \leq \left \| S \right \| \left \| T \right \|$

若有算子 $I$,满足 $I \in B(x),\forall x \in X, Ix = x, \left \| I \right \| = 1$ 和 $\forall T \in B(X), IT = TI = T$,我们称 $I$ 为单位算子。因此集合 $B(X)$ 是一个有单位元的代数,故我们称 $B(X)$ 为有单位元的赋范代数。若 $X$ 是巴拿赫空间,我们称 $B(X)$ 是巴拿赫代数


对偶空间

若有线性空间 $X$,我们定义线性算子 $f:X \to F$ 为 $X$ 上的线性函数。$L(X,F)$ 代表所以 $X$ 上的线性函数的集合。$f$ 的范数是 $\left \| f \right \| = sup{\| f(x) \| : \left \| x \right \| \leq 1}$

我们定义 $X$ 上所有有界线性函数的集合为 $X^{\ast} = B(X,F)$。称 $X^{\ast}$ 为 $X$ 的对偶。可见 $X^{\ast}$ 是一个巴拿赫空间

若有赋范线性空间 $X$ 和 $Y$,如果存在一个双射的线性算子 $T:X \to Y$,我们称 $X$ 和 $Y$ 互为同构的,记为 $X \simeq Y$。如果还存在 $\left \| Tx \right \| = \left \| x \right \|$,我们称 $T$ 为等距同构,此时我们称 $X$ 和 $Y$ 是等距同构的,记为 $X \cong Y$

证明:若有赋范线性空间 $X, Y$ 和线性算子 $T:X \to Y$,那么 $T$ 为等距同构当且仅当:(i) $T$ 是一一映射;(ii) $T$ 是 $X$ 上连续的;(iii) $T$ 存在连续的逆变换(实际上,$\left \| T^{-1} \right \| = \left \| T \right \| = 1$);(iv) $T$ 是保距的,即 $\forall x,y \in X, \left \| Tx - Ty \right \| = \left \| x - y \right \|$

证明:若赋范线性空间 $X$ 是有限维的,那么 $X^{\ast}$ 也是有限维的,并且 $dimX = dimX^{\ast}$


证明:若有希尔伯特空间 $H$ 和其上的有界线性函数 $f:H \to F$,即 $f \in H^{\ast}$,则存在且仅存在一个 $y \in H$,满足

$f(x) = < x, y >, \forall x \in H$

并且有,$\left \| f \right \| = \left \| y \right \|$

我们把这个特殊的 $y$ 称为 $f$ 的表示

证明:若有希尔伯特空间 $H$,则(a) 若 $H$ 是实希尔伯特空间,则 $H \cong H^{\ast}$;(b) 若 $H$ 是复希尔伯特空间,则 $H$ 是 $H^{\ast}$ 上的等距嵌入。


哈恩-巴拿赫定理

若有线性空间 $X$ 上的线性子空间 $M, N, M \subset N$ 和 $M$ 上的线性函数 $f$,若 $N$ 上的线性函数 $F$ 满足:

$F|_{M} = f$,也就是 $\forall x \in M, F(x) = f(x)$

我们称 $F$ 为 $f$ 到 $N$ 的延拓

若有线性空间 $X$,且函数 $p: X \to R$ 满足:

  • $p(x+y) \leq p(x) + p(y), \forall x, y \in X$
  • $p(\lambda x) = \lambda p(x), \lambda \geq 0$

则称 $p$ 为次线性泛函

证明:若有线性空间 $X$,线性子空间 $M$,$x_{0} \in X \ M$ 和 $N = \{m + \alpha x_{0}|m \in M, \alpha \in R\}$。假设 $p: X \to R$ 是 $X$ 上的次线性泛函, $f$ 是 $M$ 上的线性泛函并且有 $\forall x \in M, f(x) \leq p(x)$,那么:$f$ 可以延拓成 $N$ 上的 $F$,并且 $\forall x \in N, F(x) \leq p(x)$


证明,实线性空间哈嗯-巴拿赫延拓定理:若有线性空间 $X$ 上的次线性泛函 $p$ 和子空间 $M$ 以及有 $M$ 上的线性泛函 $f$ 且满足 $f(x) \leq p(x), \forall x \in M$,则 $f$ 有延拓 $F$ 且满足 $F(x) \leq p(x), \forall x \in X$

若有复线性空间 $X$ 和函数 $p: X \to R$,有 $\forall x, y \in X, \lambda \in C$:

  • $p(x) \geq 0, p(x) = 0$
  • $p(x+y) \leq p(x) + p(y)$
  • $p(\lambda x) = \|\lambda\| p(x)$

则称 $p$ 为半范数

证明,复线性空间哈嗯-巴拿赫延拓定理:若有复线性空间 $X$ 上的半范数 $p$ 和子空间 $M$ 以及 $M$ 上的线性泛红 $f$ 满足 $\| f(x) \| \leq p(x), \forall x \in M$,则 $f$ 存在延拓 $F$ 且满足 $\| F(x) \| \leq p(x), x \in X$

证明,赋范线性空间哈嗯-巴拿赫延拓定理:若有赋范线性空间 $(X, \left \| \cdot \right \|)$ 及其子空间 $M$ 和 $f \in M^{\ast}$,则存在 $f$ 的延拓 $x^{\ast} \in X^{\ast}$ 使得 $\left \| x^{\ast} \right \| = \left \| f \right \|$


xiehao

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