泛函分析笔记:推导篇

泛函分析笔记共三篇:空间篇推导篇应用篇。这三篇笔记主要整理自Andrew Pinchuck教授的Functional Analysisi Notes(2011)

本篇主要内容为包括各种空间的概念,属性和相应的推导


子空间和凸集

若有线性空间 X 的子集 M,对于 $\forall x,y \in M, \lambda \in F$ 满足如下要求:

  • $x + y \in M$
  • $\lambda x \in M$

我们把 M 称为 X线性子空间


若有线性空间 X 的子集 K,我们称所有包含 K 的线性子空间的交集为 K线性闭包,记为lin(K)或者span(K),也称作 X 上由 K 张成的线性子空间。

证明:$lin(K) = \{\sum_{j = 1}^{n} \lambda_{j} x_{j}| x_{1}, x_{2}, ..., x_{n} \in K, \lambda_{1}, \lambda_{2}, ..., \lambda_{n} \in F, n \in N \}$


若有线性空间的子集 ${x_{1}, x_{2}, ..., x_{n}}$ 满足当且仅当 $\alpha_{1} = \alpha_{2} = ... = \alpha_{n} = 0$ 时

$\alpha_{1} x_{1} + \alpha_{2} x_{2} + ... + \alpha_{n} x_{n} = 0$

成立,则称子集 ${x_{1}, x_{2}, ..., x_{n}}$ 线性相关,否则称为线性无关

若 ${x_{1}, x_{2}, ..., x_{n}}$ 线性无关且 $X = lin(x_{1}, x_{2}, ..., x_{n})$,我们称 ${x_{1}, x_{2}, ..., x_{n}}$ 为X的一组Xn维


若有线性空间 X 的子集 K

  • 若 $\forall x,y \in K, \lambda \in [0, 1]$,有 $\lambda x + (1 - \lambda) y \in K$,我们称 K凸集

  • 若 $\forall x \in K, |\lambda| \leq 1$,有 $\lambda x \in K$,我们称 K平衡集

  • K 既是凸集又是平衡集,我们称 K绝对凸集


若有线性空间 X 的子集 S,我们称所有包含 S 的凸集的交集为 S凸包,记为co(S)

证明:$co(S) = \{\sum_{j = 1}^{n} \lambda_{j} x_{j}| x_{1}, x_{2}, ..., x_{n} \in S, \sum_{j = 1}^{n} \lambda_{j} = 1, n \in N \}$


赋范线性空间的完备性

完备性用于保证空间上的运算具有连续性


若有赋范线性空间 $(X, \left \| \cdot \right \|)$ 上的序列 $(x_{n})_{n = 1}^{\infty}$,满足:

$\underset{n \to \infty}{lim} \left \| x_{n} - x \right \| = 0$

我们称 $(x_{n})_{n = 1}^{\infty}$ 范数收敛x,也称强收敛,记做 $x_{n} \to x$ 或 $\underset{n \to \infty}{lim} x_{n} = x$


若有赋范线性空间 $(X, \left \| \cdot \right \|)$ 上的序列 $(x_{n})_{n = 1}^{\infty}$,满足:

$\underset{n, m \to \infty}{lim} \left \| x_{n} - x_{m} \right \| = 0$

我们称 $(x_{n})_{n = 1}^{\infty}$ 为柯西序列

若度量空间 $(X, d)$ 上的每个柯西序列都收敛于 $X$,则称该度量空间是完备的


证明,若有赋范线性空间 $(X, \left \| \cdot \right \|)$ 上闭集 C 的序列 $(x_{n})_{n = 1}^{\infty}$,满足 $\underset{n \to \infty}{\infty} x_{n} = x \in X$,则 $x \in C$

证明,若有赋范线性空间 $(X, \left \| \cdot \right \|)$ 上某柯西序列的子序列是收敛的,则该柯西序列是收敛的

证明,$1 \leq p < \infty, l_{p}$ 是巴拿赫空间


集合的开闭性和有界性

若有赋范线性空间 $(X, \left \| \cdot \right \|)$,$a \in X$ 和 $r > 0$,我们定义:

  • 开球:$B(a, r) = \{ x \in X| \left \| x - a \right \| < r \}$

  • 闭球:$B[a, r] = \{ x \in X| \left \| x - a \right \| \leq r \}$

  • 球体:$S(a, r) = \{ x \in X| \left \| x - a \right \| = r \}$


若有赋范线性空间 $(X, \left \| \cdot \right \|)$ 的子集 S,$\forall s \in S, \exists \epsilon > 0$,满足:

$B(s, \epsilon) \subset S$

我们称 S开集的

若子集 F补集(X\F)是开集的,则我们称 F闭集的


若有赋范线性空间 $(X, \left \| \cdot \right \|)$ 的子集 S,我们称所有包含 S 的闭集的交集为 S闭包,记为 $\bar{S}$


若有赋范线性空间 $(X, \left \| \cdot \right \|)$ 的子集 A,对于某些 $x \in X, r > 0$ 满足:

$A \subset B[x, r]$

我们称 A有界的

若有赋范线性空间 $(X, \left \| \cdot \right \|)$ 的子集 A 和$A_{\epsilon}$、$\epsilon > 0$,对于 $\forall x \in A, \exists y \in A_{\epsilon}$,满足

$\left \| x - y \right \| < \epsilon$

我们称 $A_{\epsilon}$ 是 A 的一个ε-网

若有赋范线性空间 $(X, \left \| \cdot \right \|)$ 的子集 A,对于 $\forall \epsilon > 0$,存在有限的ε-网,我们称 A完全有界的,又称前紧致的,记做 $A \subset \underset{x \in F_{\epsilon}}{\cup} B(x, \epsilon), F_{\epsilon} \subset X$,其中 $F_{\epsilon}$是有限的


证明,赋范线性空间 $(X, \left \| \cdot \right \|)$ 的每个完全有界的子集都是有界的,相反则不一定成立。

证明,赋范线性空间 $(X, \left \| \cdot \right \|)$ 的子集 K 是完全有界的当且仅当每个 K 中的序列都有子柯西序列


若赋范线性空间 $(X, \left \| \cdot \right \|)$ 上的每个序列都有子收敛序列,则我们称 X列紧的

证明,赋范线性空间 $(X, \left \| \cdot \right \|)$ 的子集是列紧的当且仅当该子集是完全有界的和完备的


商空间

若有线性空间 X 的线性子空间 M,$\forall x, y \in X$,定义

$x \equiv y(mod M) \Leftrightarrow x - y \in M$

我们定义

$[x] := \{y \in X : x \equiv y(mod M) \} = \{y \in X : x - y \in M\} = x + M$

x 对于 M陪集

我们称所有[x]类组成的集合为商空间,也称因素空间,记为 X/M,易证商空间为线性空间。定义 M余维X/M 的维数,即 codim(M) = dim(X/M)


若有赋范线性空间 X 上的闭集子线性空间 M 和 $\forall x \in X, m \in M$,我们定义商范数

$\left \| [x] \right \| := \underset{y \in [x]}{inf} \left \| y \right \| = \underset{m \in M}{inf} \left \| x + m \right \| = \underset{m \in M}{inf} \left \| x - m \right \| = d(x, M)$

证明,商空间 X/M 在如下定义的商范数下是赋范线性空间

$\left \| [x] \right \| := \underset{y \in [x]}{inf} \left \| y \right \|, [x] \in X/M$


若有赋范线性空间 X 上的闭集子线性空间 M 和映射 $Q_{M}: X \to X/M$ 满足:

$Q_{M}(x) = x + M, x \in X$

我们称 $Q_{M}$ 为 XX/M商映射,又称自然嵌入


直和与射影

若有线性空间 X 及其线性子空间 M, N, 满足

$X = M + N, M \cap N = \{0\}$

我们称 XMN直和,记为 $X = M \bigoplus N$。M, N 互为对方的代数余子式。证明,若 $X = M \bigoplus N$,则:

  1. $\forall x \in X$,存在唯一的一对 $m \in M, n \in N$,使得 $x = m + n$

  2. $codim(M) = dim(N)$

  3. $dim(X) = dim(M) + dim(N)$


若有操作 $P : X \to X$,对 $\forall x,y \in X, \alpha \in F$, 满足:

  • 线性的:$P(\alpha x + y) = \alpha Px + Py$
  • 幂等的:$P^{2} = P$

我们称 P代数射影

证明,若有 $X = M \bigoplus N$ 和操作 $P : X \to X$ 且 $\forall x =m + n, m \in M, n \in N$,有 $P(x) = m$,则:

P 是代数射影

此时我们记 $M = P(X), N = (I - P)(X) = ker(P)$

证明,若有代数射影 P 使得 $M = P(X), N = (I - P)(X) = ker(P)$,则

$X = M \bigoplus N$


等价范数

若有线性空间 X 和两种范数 $\left \| \cdot \right \|, \left \| \cdot \right \|_{0}$, $\exists \alpha, \beta \geq 0$,对 $\forall x \in X$ 满足:

$\alpha \left \| x \right \| \leq \left \| x \right \|_{0} \leq \beta \left \| x \right \|$

我们称 $\left \| \cdot \right \|, \left \| \cdot \right \|_{0}$ 是等价

证明,有限维赋范线性空间上的所有范数都是等价的


赋范线性空间中的级数

若有赋范线性空间 $(X, \left \| \cdot \right \|)$ 上的序列 $(x_{n})$,我们定义新的序列 $(s_{n})$,其中 $s_{n} = \sum_{k = 1}^{n} x_{k}$ 为部分和

若该 $(s_{n})$ 收敛到 s,我们称级数 $\sum_{k = 1}^{\infty} x_{k}$ 收敛,记做 $\sum_{k = 1}^{\infty} x_{k} = s$

若 $\sum_{k = 1}^{\infty} \left \| x_{k} \right \| < \infty$,我们称级数 $\sum_{k = 1}^{\infty} x_{k}$ 绝对收敛


证明:一个赋范线性空间 $(X, \left \| \cdot \right \|)$ 是巴拿赫空间当且仅当 X 所有绝对收敛的级数都收敛

证明:若 M 是一个巴拿赫空间的闭集线性子空间,则带有商范数的商空间 X/M 是一个巴拿赫空间


可分空间和绍德尔基

若有赋范线性空间 $(X, \left \| \cdot \right \|)$ 上的子集 S 满足 $\bar{S} = X$,我们称 S稠密的

若赋范线性空间 $(X, \left \| \cdot \right \|)$ 含有可数的稠密子集,则我们称 X可分的

证明,一个赋范线性空间 $(X, \left \| \cdot \right \|)$ 是可分的当且仅当 X 有线性闭包的闭包是 X 的可数子集,即 $\bar{lin} (A) = X$


若有巴拿赫空间 $(X, \left \| \cdot \right \|)$ 上的一个序列 $(b_{n})$,对于 $\forall x \in X$,存在一个唯一的标量序列 $(\alpha_{n})$,满足:

$\lim_{n \to \infty} \left \| x - \sum_{j = 1}^{n} \alpha_{j} b_{j} \right \| = 0$

也写作 $x = \sum_{j = 1}^{\infty} \alpha_{j} b_{j}$

我们称 $(b_{n})$ 为绍德尔基

证明,若一个巴拿赫空间有一组绍德尔基,则该空间是可分的


正交性

若有内积空间 $(X, <\cdot, \cdot>)$ 上的两个元素 x, y,满足:

$ = 0$

我们称 xy 正交, 记为 $x \perp y$

若有子集 $M \subset X$ 是由非零的正交对组成,则称 M正交的


若有子集 $M \subset X$,对 $\forall m \in M$,有 $x \in X$ 满足 $ = 0$,我们称 x 正交于 M,记为 $x \perp M$。我们称

$M^{\perp} = {x \in X : = 0, \forall m \in M}$

M正交补集

证明,$M^{\perp}$ 是 X 的闭集线性子空间

证明,若 $M \subset N$,则 $N^{\perp} \subset M^{\perp}$


希尔伯特空间上的最佳逼近

若有内积空间 $(X, <\cdot, \cdot>)$ 上的闭子集 K,对于给定的 $x \in X\\K$ 和某个 $y_{0} \in K$,满足:

$\left \| x - y_{0} \right \| \leq \left \| x - y \right \|, \forall y \in K$

$\left \| x - y_{0} \right \| = \underset{y \in K}{inf} \left \| x - y \right \| = d(x, K)$

我们称 $y_{0}$ 是 xK 上的最佳逼近,又称最近点

我们将所有最佳逼近点的集合(可能为空集,即不存在最佳逼近点)记为

$P_{K} (x) = \{y \in K: \left \| x - y \right \| = d(x, K) \}$

称 $P_{K}$ 为距离投影,又称最近点映射


有内积空间 $(X, <\cdot, \cdot>)$ 上的闭子集 K

  • 若 $P_{K} (x) \neq \varnothing, \forall x \in X$,则称 K可逼近型

  • 若 $P_{K} (x)$ 只有一个元素,即对于每个 x,只有一个最佳逼近点,则称 K切比雪夫型

证明,所有非空完备凸子集是切比雪夫型集合


佐恩引理

若集合 $P$ 上的二元关系 $\preceq$ 对于所有的 $x, y, z \in P$,满足:

(i) 反身性:$x \preceq x$;

(ii) 反对称性:$x \preceq y, y \preceq x \Rightarrow x = y$;

(iii) 传递性:$x \preceq y, y \preceq z \Rightarrow x \preceq z$

我们把 $\preceq$ 称为偏序,把 $(P, \preceq)$ 称为偏序集


若有偏序集 $(P, \preceq)$ 的子集 $C$

(i) 若对于 $u \in P$,有 $\forall x \in C, x \preceq u$,我们称 $u$ 是 $C$ 的一个上界

(ii) 若对于 $m \in C$,如果任意 $y \in C$,有 $m \preceq y \Rightarrow m = y$,则我们称 $m$ 是极大值

若有偏序集 $(P, \preceq)$ 和 $x, y \in P$,如果 $x \preceq y$ 和 $y \preceq x$ 有且只有一个成立,我们称 $x, y$ 是可比的,否则是不可比的。如果 $P$ 中任意两个元素是可比的,我们称 $\preceq$ 为线性序,或称全序,称 $(P, \preceq)$ 为线性有序集,或称全序集,又称


佐恩引理:若偏序集 $(P, \preceq)$ 中任意线性有序子集都有上界,则 $P$ 中存在极大值元素

xiehao

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