泛函分析笔记:空间篇

泛函分析笔记共三篇:空间篇推导篇应用篇。这三篇笔记主要整理自Andrew Pinchuck教授的Functional Analysisi Notes(2011)

本篇主要内容为: 线性空间、赋范线性空间和内积空间


线性空间

当非空集合X,数域F和如下两个操作

  • $+ : X \times X \mapsto X$ (加法)
  • $\cdot : F \times X \mapsto X$ (乘法)

满足:

  1. (X, + ) 构成可换群
  2. 数乘满足封闭性:$\forall x \in X, \alpha \in F$
  3. 数乘满足分配律:$\forall x,y \in X, \alpha, \beta \in F$
  4. 数乘满足结合律:$\forall x \in X, \alpha, \beta \in F$
  5. 数乘有单位元:$\exists e \in F$

我们称(X, F, +, · )构成线性空间,又称为向量空间。当数域F为实数域时我们称之为real linear space,当数域F为复数域时我们称之为complex linear space

若集合X中每一个柯西序列都收敛于X,我们称该空间是完备的

几类常见的线性空间:

  • $X = F^{n} = \{ x = (x_{1}, x_{2}, ..., x_{n}):x_{i} \in F, i = \{1, 2, ..., n\} \}$
  • 序列空间 s :$X = F^{\infty} = \{ x = (x_{1}, x_{2}, ...) = (x_{i})_{1}^{\infty}:x_{i} \in F, i \in N \}$
    • $X = l_{\infty} = l_{\infty}(N) = \{ x = (x_{i}, x_{2}, ... ) : x_{i} \in F, i = \in N, sup|x_{i}| < \infty \}$:即所有的有界序列组成的空间
    • $X = l_{p} = l_{p}(N) = \{ x = (x_{i}, x_{2}, ... ) : x_{i} \in F, i = \in N, 1 \leq p \leq \infty, \sum |x_{i}|^{p} < \infty \}$
    • $X = c = c(N) = \{ x = (x_{i}, x_{2}, ... ) : x_{i} \in F, i = \in N, \exists \lim_{n \to \infty} x_{n}\}$:即所有收敛序列组成的空间
    • $X = c_{0} = c_{0}(N) = \{ x = (x_{i}, x_{2}, ... ) : x_{i} \in F, i = \in N, \lim_{n \to \infty} x_{n} = 0\}$:即所有收敛至0的序列组成的空间
  • $X = C[a, b] = { x: [a,b] \mapsto F| x \to continue }, \alpha \in R$:即所有连续函数组成的空间

赋范线性空间

若线性空间(X, F, +, · )和函数 $\left \| \cdot \right \| : X \to R$ 满足

N1 $\left \| x \right \| \geq 0$

N2 $\left \| x \right \| = 0 \Leftrightarrow x = 0$

N3 $\left \| \lambda x \right \| = |\lambda| \left \| x \right \|$

N4 $\left \| x + y \right \| \leq \left \| x \right \| + \left \| y \right \|$

我们将 $(X, F, +, \cdot, \left \| \cdot \right \|)$ 称为赋范线性空间,$\left \| x \right \|$称为x的范数或长度


若集合X和实值函数 $d:X \times X \to R$ ,对于 $x,y,z \in X$ 满足如下关系

M1 $d(x, y) \geq 0$

M2 $d(x, y) = 0 \Leftrightarrow x = y$

M3 $d(x, y) = d(y, x)$

M4 $d(x, z) \leq d(x, y) + d(y, z)$

我们将 (X, d) 称为度量空间


若对于赋范线性空间 $(X, \left \| \cdot \right \|)$ , 我们令

$d(x, y) = \left \| x - y \right \|$

可证 (X, d) 为度量空间且我们称该度量空间由赋范线性空间 $(X, \left \| \cdot \right \|)$ 生成

若度量空间 (X, d) 是完备的,则我们称该度量空间对应的赋范线性空间为巴拿赫空间


内积空间

若线性空间 X 和函数 $<\cdot, \cdot> : X \times X \to F$,对于 $\forall x,y,z \in Z, \alpha,\beta \in F$ 满足如下关系

IP1 $< x, x> \geq 0$

IP2 $< x, x> = 0 \Leftrightarrow x = 0$

IP3 $< x, y> = \overline{< x, y>}$ (复共轭)

IP4 $< \alpha x, y> = \alpha < x, y>$

IP5 $< x + y, z> = < x, z> + < y, z>$

我们将 $(X, <\cdot, \cdot>)$ 称为内积空间,也称原希尔伯特空间


对于内积空间 $X = F^{n}$,若定义内积

$< x, y> = \sum x_{i} \overline{y_{i}}$

则当 $X = R^{n}$ 时,我们称之为n维欧几里得空间

则当 $X = C^{n}$ 时,我们称之为n维酉空间


在内积空间 $(X, <\cdot, \cdot>)$ 上,定义范数

$\left \| x \right \| := \sqrt{< x, x>}$

若该空间是完备的,则称 $(X, <\cdot, \cdot>, \left \| \cdot \right \|)$ 为希尔伯特空间

xiehao

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