抽象代数笔记:概念篇

该笔记用于整理抽象代数中的基本概念


半群->群->可换群

对于非空集合 G 、操作 · 和如下属性

  1. 满足封闭性: $a,b \in G \Rightarrow a \cdot b \in G$
  2. 满足结合律: $a,b,c \in G \Rightarrow (a \cdot b)\cdot c = a \cdot (b \cdot c)$
  3. 存在单位元:$\forall a \in G, \exists e \in G$
  4. 存在可逆元:$\forall a \in G, \exists a^{-1}$
  5. 满足交换律:$a,b \in G \Rightarrow a \cdot b = b \cdot a$

满足(1)(2)的(G, · )称之为半群,比如所有整数和乘法构成半群。

满足(1)(2)(3)(4)的(G, · )称之为

满足(1)(2)(3)(4)(5)的(G, · )称之为可换群,比如所有整数和加法构成可换群,其单位元是0。

总结:半群是没有逆元的群,可换群是满足交换律的群


环->可换环->整环

若对于非空集合K、操作 · 和操作 +

满足如下属性:

  • (K, + ) 构成可换群
  • (K, · ) 构成半群
  • (K, ·, + ) 满足左右分配律:$a \cdot (b + c) = a \cdot b + a \cdot c; (b + c) \cdot a= b \cdot a + c \cdot a$

则称(K, ·, + )构成

若(K, · )还满足交换律,则(K, ·, + )构成可换环

若可换环(K, · )满足

  • 消去律:$\forall c \neq 0, c \cdot a = c \cdot b \Rightarrow a = b$

则可换环(K, ·, + )构成整环,比如整数和加法乘法构成整环。


域、子域和扩域

若对于非空集合F、操作 · 和操作 +

满足如下属性:

  • (F, ·, + )构成整环
  • (F, · )对于非零元元存在可逆元:即(F, · ) - { 0 } 构成可换群

则称(F, ·, + )构成

有(E, ·, + )构成域,若集合F

  • $F \neq \varnothing$
  • $F \subseteq E$
  • (F, ·, + )构成域

则称 FE子域E/F表示 EF 的一个扩域

xiehao

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